شانزدهم دی سال 1325 در تبریز متولد شد. سال 1345 با شنیدن صدای آواز ابوالحسن‌خان اقبال آذر (اقبال‌السطان) به موسیقی سنتی علاقه‌مند شد و پس از معرفی از سوی استاد محمود فرنام (نوازندۀ نامی دایره) به محضر این استاد بزرگ موسیقی راه یافت و به فراگیری ردیف آوازی و شیوۀ آوازخوانی پرداخت. اودر سال 1355 با ابراهیم بوذری آشنا شد و در کنار او از شاگردان برجستۀ اقبال آذر بود.
پس از درگذشت اقبال آذر و بنا به درخواست وزارت فرهنگ‌وهنر وقت، به تهران آمد و پس از گذراندن دورۀ عالی ردیف آوازی در محضر عبدالله‌خان دوامی موفق به اخذ گواهینامۀ پایان دوره کامل ردیف با دست‌خط این استاد نامی شد.
او کنسرت‌هایی را با استاد هادی منتظری و داود آزاد اجرا کرده است که عمدۀ آنها با تأکید بر اجرای ردیف موسیقی کلاسیک آوازی ایران تدوین شده بودند. وی همچنین به همراه اساتید مطرحی از جمله «حسن ناهید» و «داود آزاد» کنسرت‌هایی را در داخل و خارج از ایران به صحنه بردند و مدتی نیز با حمید سکوتی کنسرت‌هایی برگزار کردند.
این ردیف‌دان و مدرس آواز و خوانندۀ موسیقی سنتی، تنها ارائه‌دهندۀ سبک و شیوۀ آوازی استاد اقبال آذر است و می‌توان او را تنها یادگار اقبال بزرگ در بخش آموزش ردیف‌های مکتب تبریز دانست. او از معدود استادانی است که شاگردان بسیاری در حوزۀ ردیف آوازی تربیت کرد که از جمله آنها می‌توان به سید عبدالحسین مختاباد، فاضل جمشیدی، امیر مداح، امیر اثنی‌عشری، سبحان مهدی‌پور، پرواز همای، کمال‌الدین عباسی و سید ابوالحسن مختاباد اشاره کرد. این هنرمند همچنین با زنده‌یاد بیگجه‌خانی و آذرسینا و دکتر بهجت (استاد سنتور) چندین برنامه اجرا کرده است.
صالح عظیمی از سال ۱۳۶۵ در مرکز موسیقی صداوسیما، حوزه هنری، مرکز موسیقی وزارت فرهنگ و ارشاد اسلامی و دانشگاه سوره به تدریس آواز مشغول است. سال ۱۳۹۵ در فرهنگسرای ارسباران و همچنین سال 1397 در مراسم اختتامیۀ سی‌وچهارمین جشنوارۀ موسیقی فجر از خدمات و فعالیت‌های این هنرمند برجسته تجلیل به عمل آمد. تاکنون دو آلبوم به نام‌های «آوای همایون» و «آواز شور» از ایشان منتشر شده است.
استاد کریم صالح عظیمی مدرک درجه یک هنری دارد و از ابتدای فعالیت مؤسسه هنرمندان پیشکسوت به عضویت درآمده است.
